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2020年高考數學一輪復習教案:第8章 第6節 雙曲線(含解析)
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2020年高考數學一輪復習教案:第8章 第6節 雙曲線(含解析)

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第六節 雙曲線

[考綱傳真] 1.了解雙曲線的實際背景,了解雙曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道其簡單的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.理解數形結合思想.4.了解雙曲線的簡單應用.

1雙曲線定義

平面內與兩個定點F1F2距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距

集合P{M|||MF1||MF2||2a}|F1F2|2c,其中ac為常數且a>0c>0.

(1)2a<|F1F2|時,P點的軌跡是雙曲線;

(2)2a|F1F2|時,P點的軌跡是兩條射線;

(3)2a>|F1F2|時,P點不存在.

2雙曲線的標準方程和幾何性質

標準方程

1

(a0b0)

1

(a0b0)

圖形

性質

范圍

xaxayR

xRyaya

對稱性

對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點

頂點坐標

A1(a,0)A2(a,0)

A1(0,-a)A2(0a)

漸近線

y±x

y±x

離心率

ee(1,+),其中c

實虛軸

線段A1A2叫做雙曲線的實軸,它的長|A1A2|2a

線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|2b

a叫做雙曲線的實半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長

abc的關系

c2a2b2(ca0cb0)

3.等軸雙曲線

實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,其漸近線方程為y±x,離心率為e.

三種常見雙曲線方程的設法

(1)若已知雙曲線過兩點,焦點位置不能確定,可設方程為Ax2By21(AB<0)

(2)當已知雙曲線的漸近線方程為bx±ay0,求雙曲線方程時,可設雙曲線方程為b2x2a2y2λ(λ0)

(3)與雙曲線1有相同的漸近線的雙曲線方程可設為λ(λ0)

(4)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦長為.

[基礎自測]

1(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)

(1)平面內到點F1(0,4)F2(0,-4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線. ????????????? (  )

(2)方程1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線. (  )

(3)雙曲線λ(m>0n>0λ0)的漸近線方程是0,即±0.  (  )

(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率等于. (  )

[答案] (1)× (2)× (3) (4)

2.雙曲線1的焦距為(  )

A5    B.    C2    D1

C [由雙曲線1,易知c2325,所以c,所以雙曲線1的焦距為2.]

3(教材題改編)已知雙曲線1(a>0)的離心率為2,則a(  )

A2         B.   C.     D1

D [依題意,e22a,則a21a1.]

4.設P是雙曲線1上一點,F1F2分別是雙曲線左、右兩個焦點,若|PF1|9,則|PF2|________.

17 [由題意知|PF1|9ac10,所以P點在雙曲線的左支,則有|PF2||PF1|2a8,故|PF2||PF1|817.]

5.已知雙曲線1(a0b0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直,則雙曲線的方程為________

y21 [由題意可得解得a2,則b1

所以雙曲線的方程為y21.]

雙曲線的定義及應用

1. 已知F1F2為雙曲線Cx2y22的左、右焦點,點PC上,|PF1|2|PF2|,則cosF1PF2(  )

A.    B.    C.    D.

C [由雙曲線的定義有|PF1||PF2||PF2|2a2|PF1|2|PF2|4,則cosF1PF2

.C.]

2.若雙曲線1的左焦點為F,點P是雙曲線右支上的動點,A(1,4),則|PF||PA|的最小值是(  )

A8         B9   C10   D12

B [由題意知,雙曲線1的左焦點F的坐標為(4,0),設雙曲線的右焦點為B,則B(4,0),由雙曲線的定義知|PF||PA|4|PB||PA|4|AB|4459,當且僅當APB三點共線且PAB之間時取等號.]

[規律方法]  雙曲線定義的兩個應用

一是判定平面內動點的軌跡是否為雙曲線,進而根據要求可求出曲線方程;

二是在焦點三角形中,常利用正弦定理、余弦定理,結合||PF1||PF2||2a,運用平方的方法,建立與|PF1||PF2|的聯系.

 

雙曲線的標準方程

 

【例1】 設雙曲線與橢圓1有共同的焦點,且與橢圓相交,其中一個交點的坐標為(4),則此雙曲線的標準方程是________

1  [法一:橢圓1的焦點坐標是(0±3),設雙曲線方程為1(a>0b>0),根據雙曲線的定義知2a||4,故a2.

b232225,故所求雙曲線的標準方程為1.

法二:橢圓1的焦點坐標是(0±3).設雙曲線方程為1(a>0b>0),則a2b29

又點(4)在雙曲線上,所以1

聯立①②解得a24b25.故所求雙曲線的標準方程為1.

法三:設雙曲線的方程為1(27<λ<36),由于雙曲線過點(4),故1,解得λ132λ20

經檢驗λ132λ20都是方程的根,但λ0不符合題意,應舍去,所以λ32.

故所求雙曲線的標準方程為1.]

[規律方法] 求雙曲線標準方程的一般方法

?1?待定系數法:設出雙曲線方程的標準形式,根據已知條件,列出參數abc的方程并求出abc的值.與雙曲線1有相同漸近線時,可設所求雙曲線方程為?λ0?.

?2?定義法:依定義得出距離之差的等量關系式,求出a的值,由定點位置確定c的值.

(1)已知雙曲線1(a0b0)的一個焦點為F(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切,則雙曲線的方程為(  )

A.1     B.1

C.y21   Dx21

(2)(2019·鄭州質量預測)已知雙曲線的一個焦點與拋物線x224y的焦點重合,其一條漸近線的傾斜角為30°,則該雙曲線的標準方程為(  )

A.1   B.1

C.1   D.1

(1)D (2)B [(1)由題意知,雙曲線的漸近線方程為y±x,即bx±ay0,因為雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切,所以,由雙曲線的一個焦點為F(2,0)可得a2b24,所以|b|,即b23,所以a21,故雙曲線的方程為x21.

(2)x224y焦點為(0,6)

可設雙曲線的方程為1(a0b0)

漸近線方程為y±x

其中一條漸近線的傾斜角為30°

c6a29b227.

其方程為1.]

雙曲線的幾何性質

?考法1 求雙曲線的離心率的值(或范圍)

【例2】 (1)(2017·全國卷)a>1,則雙曲線y21的離心率的取值范圍是(  )

A(,+)          B(2)

C(1)   D(1,2)

(2)(2018·全國卷)F1F2是雙曲線C1(a0b0)的左,右焦點,O是坐標原點.過F2C的一條漸近線的垂線,垂足為P.|PF1||OP|,則C的離心率為(  )

A.    B2   C.    D.

(1)C (2)C [(1)由題意得雙曲線的離心率e.

e21.

a101112

1e.

故選C.

(2)不妨設一條漸近線的方程為yx,則F2yx的距離db,在RtF2PO中,|F2O|c,所以|PO|a,所以|PF1|a.|F1O|c,所以在F1PORtF2PO中,根據余弦定理得cosPOF1=-cosPOF2=-,即3a2c2(a)20,得3a2c2,所以e.]

?考法2 雙曲線的漸近線問題

【例3】 (1)(2019·合肥質檢)已知雙曲線1(a0b0)的離心率為,則該雙曲線的漸近線方程為________

(2)已知F1F2是雙曲線C1(a>0b>0)的兩個焦點,PC上一點,若|PF1||PF2|6a,且PF1F2最小內角的大小為30°,則雙曲線C的漸近線方程是________

(1)y±x (2)x±y0 [(1)因為e,所以c2a2b23a2,故ba,則此雙曲線的漸近線方程為y±x±x.

(2)由題意,不妨設|PF1|>|PF2|,則根據雙曲線的定義得,|PF1||PF2|2a,又|PF1||PF2|6a,解得|PF1|4a|PF2|2a.PF1F2中,|F1F2|2c,而c>a,所以有|PF2|<|F1F2|,所以PF1F230°,所以(2a)2(2c)2(4a)22·2c·4acos 30°,得ca,所以ba.所以雙曲線的漸近線方程為y±x±x,即x±y0.]

?考法3 求雙曲線的方程

【例4】 已知雙曲線1(a>0b>0)的左焦點為F,離心率為.若經過FP(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為(  )

A.1   B.1

C.1   D.1

B [由離心率為,可知abca,所以F(a,0),由題意知kPF1,所以a4,解得a2,所以雙曲線的方程為1.]

[規律方法] 與雙曲線幾何性質有關問題的解題策略

?1?求雙曲線的離心率或范圍.依據題設條件,將問題轉化為關于ac的等式或不等式,解方程或不等式即可求得.

?2?求雙曲線的漸近線方程.依據題設條件,求雙曲線中ab的值或ab的比值,進而得出雙曲線的漸近線方程.

(1)已知方程1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是(  )

A(1,3)          B(1)

C(0,3)   D(0)

(2)已知雙曲線E1(a0b0),若矩形ABCD的四個頂點在E上,ABCD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|3|BC|,則E的離心率是________

(1)A (2)2 [(1)若雙曲線的焦點在x軸上,則(m2n)(3m2n)4m211<n<3.

若雙曲線的焦點在y軸上,則雙曲線的標準方程為

1,即n>3m2n<m2,此時n不存在.故選A.

(2)由已知得|AB||BC|2c2×3×2c.b2c2a2,整理得2c23ac2a20,兩邊同除以a2,得22320,即2e23e20,解得e2.]

1(2018·全國卷)雙曲線1(a>0b>0)的離心率為,則其漸近線方程為(  )

Ay±x      By±x

Cy±x   Dy±x

A [因為雙曲線的離心率為,所以,即ca.c2a2b2,所以(a)2a2b2,化簡得2a2b2,所以.因為雙曲線的漸近線方程為y±x,所以y±x.故選A]

2(2018·全國卷)已知雙曲線C1(a>0b>0)的離心率為,則點(4,0)C的漸近線的距離為(  )

A.   B2   C.   D2

D [法一:由離心率e,得ca,又b2c2a2,得ba,所以雙曲線C的漸近線方程為y±x.由點到直線的距離公式,得點(4,0)C的漸近線的距離為2.故選D.

法二:離心率e的雙曲線是等軸雙曲線,其漸近線方程是y±x,由點到直線的距離公式得點(4,0)C的漸近線的距離為2.故選D.]

3(2017·全國卷)雙曲線1(a0)的一條漸近線方程為yx,則a________.

5 [雙曲線的標準方程為1(a>0)

雙曲線的漸近線方程為y±x.

又雙曲線的一條漸近線方程為yxa5.]

 

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