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3.1.2 函數的表示法 教案
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高中數學人教A版 (2019)必修 第一冊3.1 函數的概念及其表示教案設計

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這是一份高中數學人教A版 (2019)必修 第一冊3.1 函數的概念及其表示教案設計,共8頁。教案主要包含了典例分析等內容,歡迎下載使用。




授課年級
高 一
主備人
梁 欣
審核人
課題名稱
函數的表示
課型
新 課
授課日期
學情分析*
課本從引進函數概念開始就比較注重函數的不同表示方法:解析法,圖象法,列表法.函數的不同表示方法能豐富對函數的認識,幫助理解抽象的函數概念.特別是在信息技術環境下,可以使函數在形與數兩方面的結合得到更充分的表現,使學生通過函數的學習更好地體會數形結合這種重要的數學思想方法.因此,在研究函數時,要充分發揮圖象的直觀作用.在研究圖象時,又要注意代數刻畫以求思考和表述的精確性.課本將映射作為函數的一種推廣,這與傳統的處理方式有了邏輯順序上的變化.這樣處理,主要是想較好地銜接初中的學習,讓學生將更多的精力集中理解函數的概念,同時,也體現了從特殊到一般的思維過程.
學習目標
課程目標


1、明確函數的三種表示方法;


2、在實際情境中,會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數;


3、通過具體實例,了解簡單的分段函數,并能簡單應用.


數學學科素養


1.數學抽象:函數解析法及能由條件求出解析式;


2.邏輯推理:由條件求函數解析式;


3.數學運算:由函數解析式求值及函數解析式的計算;


4.數據分析:利用圖像表示函數;


5.數學建模:由實際問題構建合理的函數模型。
教學重點
函數的三種表示方法,分段函數的概念.
教學難點
根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數,什么才算“恰當”?分段函數的表示及其圖象.
教具準備*


(輔助工具)
教學方法:以學生為主體,采用誘思探究式教學,精講多練


教學工具:多媒體
流程及時間安排:


教學過程:


情景導入


初中已經學過函數的三種表示法:列表法、圖像法、解析法,那么這三種表示法定義是?優缺點是?


要求:讓學生自由發言,教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.


預習課本,引入新課


閱讀課本67-68頁,思考并完成以下問題


1.表示兩個變量之間函數關系的方法有幾種?分別是什么?2.函數的各種表示法各有什么特點?


3.什么是分段函數?分段函數是一個還是幾個函數?4.怎樣求分段函數的值?如何畫分段函數的圖象?


要求:學生獨立完成,以小組為單位,組內可商量,最終選出代表回答問題。


新知探究


1.函數的表示法






列表法
圖像法
解析法

定義
用表格的形式把兩個變量間的函數關系表示出來的方法
用圖像把兩個變量間的函數關系表示出來的方法
用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.

優點
不必通過計算就能知道兩個變量之間的對應關系,比較直觀
可以直觀地表示函數的局部變化規律,進而可以預測它的整體趨勢
能叫便利地通過計算等手段研究函數性質

缺點
只能表示有限個元素的函數關系
有些函數的圖像難以精確作出
一些實際問題難以找到它的解析式




2.分段函數


(1)定義:若函數在其定義域的不同子集上,因對應法則不同而分別用幾個不同的式子來表示,這種函數稱為分段函數.分段函數雖由幾個部分組成,但它表示的是一個函數.


(2)定義域:分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集,其值域等于各段函數的值域的并集.


(3)原則:分段函數是一個函數而不是幾個函數,處理分段函數問題時,首先確定自變量的取值屬于哪個區間,再選取相應的對應法則,離開定義域討論分段函數是毫無意義的.


(4)圖像:應分別作出幾個定義域區間相應表達式部分的圖像,作圖過程中應充分利用基本初等函數的圖像(靈活運用平移伸縮等變換),并注意區間端點圖像是否取實心.


(5)值域:分段函數的值域等于各段函數的值域的并集.分別求出各部分的值域然后求并集,也可以利用分段函數的圖像數形結合得到值域.





四、典例分析、舉一反三


題型一 函數的定義


【例1】某種筆記本的單價是元,買()個筆記本需要元.試用三種表示法表示函數.


【解析】這個函數的定義域是數集{1,2, 3,4,5}.


用解析法可將函數y=f(x)表示為 y=5x, x∈{1,2, 3,4,5}


用列表法可將函數y=f(x)表示為





用圖像法可將函數y=f(x)表示為








解題技巧:(表示函數的注意事項)


1. 函數圖象既可以是連續的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;


2. 解析法:必須注明函數的定義域;


3 .圖象法:是否連線;


4. 列表法:選取的自變量要有代表性,應能反映定義域的特征.





【練習1】已知函數,分別由下表給出.




























則的值為________;當時,=________.


【答案】1 1


【解析】由于函數關系是用表格形式給出的,知g (1)=3,∴f ( g(1))=f (3)=1.由于g (2)=2,∴f (x)=2,∴x=1.





題型二 分段函數求值


【例2】已知函數(1)求的值;(2)若,求的值


【答案】(1) eq \f(4,13) (2) ±eq \r(2)


【解析】(1)因為f eq \b\lc\( \rc\)( \a\vs4\al\c1(\f (1,2)) )=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-1))-2=-eq \f(3,2),


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( f \b\lc\( \rc\) (\a\vs4\al\c1( \f (1,2)) ) ))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2)) )=eq \f(1,1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( -\f(3, 2 ))) 2)=eq \f(4,13).


(2)f(x)=eq \f(1,3),若|x|≤1,則|x-1|-2=eq \f(1,3),得x=eq \f(10,3)或x=-eq \f(4,3).


因為|x|≤1,所以x的值不存在;若|x|>1,則eq \f(1,1+x2)=eq \f(1,3),得x=±eq \r(2),符合|x|>1.


所以若f(x)=eq \f(1,3),x的值為±eq \r(2).


解題技巧:(分段函數求值問題)


1.求分段函數的函數值的方法


(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區間.


(2)代入該段的解析式求值,直到求出值為止.當出現f(f(x0)) 的形式時,應從內到外依次求值.


2.求某條件下自變量的值的方法先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上,然后相應求出自變量的值,切記代入檢驗.


【練習】


函數若,則


【答案】-eq \r(6)或10


【解析】解析:當x0≤2時,f(x0)=xeq \\al(2,0)+2=8,即xeq \\al(2,0)=6,∴x0=-eq \r(6)或x0=eq \r(6)(舍去);


當x0>2時,f(x0)=eq \f(4,5)x0,∴x0=10.綜上可知,x0=-eq \r(6)或x0=10.





題型三 求函數解析式


例3 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);


(2)已知f(x)是二次函數,且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;


(3)已知函數f(x)對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).


【答案】見解析


【解析】(1)(方法一)令x+1=t,則x=t-1.將x=t-1代入f(x+1)= x2-3x+2,


得f(t)= t-12-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)= x2-5x+6.


(方法二)∵f(x+1)= x2 -3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=x+12-5(x+1)+6,∴f(x)= x2-5x+6.


(2)設所求的二次函數為f(x)=ax2+bx+c(a≠0).


∵f(0)=1,∴c=1,則f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x對任意的x∈R都成立,


∴ax+12+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,


即2ax+a+b=2x,由恒等式的性質,得2a=2,a+b=0,∴a=1,b=-1.∴所求二次函數為f(x)=x2-x+1.


(3)∵對于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,


∴將x替換為-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,聯立方程組消去f(-x),可得f(x)=-3x-23 .


解題技巧:(求函數解析式的四種常用方法)


1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接將g(x)代入即可.


2.待定系數法:若已知函數的類型,可用待定系數法求解,即由函數類型設出函數解析式,再根據條件列方程(或方程組),通過解方程(組)求出待定系數,進而求出函數解析式.


3.換元法(有時可用“配湊法”):已知函數f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),從而求出f(x).


4.解方程組法或消元法:在已知式子中,含有關于兩個不同變量的函數,而這兩個變量有著某種關系,這時就要依據兩個變量的關系,建立一個新的關于兩個變量的式子,由兩個式子建立方程組,通過解方程組消去一個變量,得到目標變量的解析式,這種方法叫做解方程組法或消元法.


跟蹤訓練三


1.已知f(x)是一次函數,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;


2.已知f(x+1)=x+2x,求f(x)的解析式;


3.設函數f(x)滿足f(x)+2f1x=x(x≠0),求f(x).


【答案】見解析


【解析】(1)∵f(x)為一次函數,∴可設f(x)=ax+b(a≠0).


∵f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.


∴a2=2,ab+b=-1,解得a=2,b=1-2或a=-2,b=1+2.


故f(x)=2x+1-2或f(x)=-2x+1+2.


(2)(方法一)f(x+1)=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,其中x+1≥1,


故所求函數的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.


(方法二)令x+1=t,則x=(t-1)2,且t≥1,


函數f(x+1)=x+2x可化為f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,故所求函數的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.


(3)因為對任意的x∈R,且x≠0都有f(x)+2f1x=x成立,


所以對于1x∈R,且1x≠0,有f1x+2f(x)=1x,兩式組成方程組f(x)+2f1x=x,①f1x+2f(x)=1x,②


②×2-①得,f(x)=132x-x.


題型四 函數的圖像及應用


例4 1. 函數f(x)=|x-1|的圖象是( )





2.給定函數fx=x+1,gx=x+12,x∈R


(1)在同一直角坐標系中畫出函數fx,gx的圖像;


(2)?x∈R,用Mx表示fx,gx中的較大者,記為Mx=maxfx,gx.請分別用圖像法和解析法表示函數Mx.


【答案】1.B 2.見解析


【解析】1.法一:函數的解析式可化為y=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-1,x≥1,,1-x,x<1.))畫出此分段函數的圖象,故選B.


法二:由f(-1)=2,知圖象過點(-1,2),排除A、C、D,故選B.


2. (1)同一直角坐標系中函數fx,gx的圖像





(2)結合Mx的定義,可得函數Mx的圖像


由x+12=x+1,得xx+1=0.解得x=1,或x=0.


由圖易知Mx的解析式為Mx=x+12,x+1,x+12x≤-1-10


解題方法(函數圖像問題處理措施)


(1)若y=f(x)是已學過的基本初等函數,則描出圖象上的幾個關鍵點,直接畫出圖象即可,有些可能需要根據定義域進行取舍.


(2)若y=f(x)不是所學過的基本初等函數之一,則要按:①列表;②描點;③連線三個基本步驟作出y=f(x)的圖象.


(3)作分段函數的圖象時,分別作出各段的圖象,在作每一段圖象時,先不管定義域的限制,作出其圖象,再保留定義域內的一段圖象即可,作圖時要特別注意接點處點的虛實,保證不重不漏.


跟蹤訓練四


1.已知函數f(x)的圖象如右圖所示,則f(x)的解析式是________.


2.若定義運算a⊙b=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b,a≥b,,a,a<b.))則函數f(x)=x⊙(2-x)的值域為________.


【答案】1.f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+1,-1≤x<0,,-x,0≤x≤1))2. (-∞,1]


【解析】1. 由圖可知,圖象是由兩條線段組成,當-1≤x<0時,設f(x)=ax+b,將(-1,0),(0,1)代入解析式,則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-a+b=0,,b=1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=1,,b=1.))


當0≤x≤1時,設f(x)=kx,將(1,-1)代入,則k=-1.


2.由題意得f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2-x,x≥1,,x,x<1,))畫出函數f(x)的圖象得值域是(-∞,1].


題型五 函數的實際應用


例5下表是某校高一(1)班三位同學在高一學年度幾次數學測試的成績及班級及班級平均分表:






第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次

王 偉
98
87
91
92
88
95

張 城
90
76
88
75
86
80

趙 磊
68
65
73
72
75
82

班平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6

請你對這三們同學在高一學年度的數學學習情況做一個分析.


【答案】見解析


【解析】從表可以知道每位同學在每次測試中的成績,但不太容易分析每位同學的成績變化情況。如果將每位同學的“成績”與“測試序號”之間的函數關系分別用圖象(均為6個離散的點)表示出來,如圖3.1-6,那么就能直觀地看到每位同學成績變化的情況,這對我們的分析很有幫助.


從圖3.1-6可以看到,王偉同學的數學學習成績始終高于班級平均水平,學習情況比較穩定而且成績優秀.張城同學的數學學習成績不穩定,總是在班級平均水平上下波動,而且波動幅度較大.趙磊同學的數學學習成績低于班級平均水平,但表示他成績變化的圖象呈上升趨勢,表明他的數學成績在穩步提高.
板書設計*:


3.1.2函數的表示法


1. 函數的表示法 例1 例2 例3 例4





2.分段函數









教后反思*:


理解函數的三種表示方法,在具體的實際問題中能夠選用恰當的表示法來表示函數,注意分段函數的表示方法及其圖象的畫法.
定級自評*: 優 中 差
審核人評語*:


等級評定*: 優 中 差
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