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4.4.1 對數函數的概念-導學案 學生版
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高中數學人教A版 (2019)必修 第一冊4.4 對數函數學案設計

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這是一份高中數學人教A版 (2019)必修 第一冊4.4 對數函數學案設計,共34頁。學案主要包含了對數函數的圖象等內容,歡迎下載使用。







對數函數的概念


一般地,把函數y=lgax(a>0,且a≠1)叫做對數函數,其中x是自變量,定義域是(0,+∞)





2.對數函數的圖像和性質





例題解析














題型一 對數函數的概念


注意:判斷一個函數是對數函數必須是形如y=lgax(a>0且a≠1)的形式,即必須滿足以下條件:


(1)系數為1.(2)底數為大于0且不等于1的常數.(3)對數的真數僅有自變量x.


例1 指出下列函數哪些是對數函數?


(1)y=3lg2x;(2)y=lg6x;(3)y=lgx3;(4)y=lg2x+1.














[跟蹤訓練]1(1)對數函數的圖象過點M(16,4),則此對數函數的解析式為





(2)若對數函數y=f(x)滿足f(4)=2,則該對數函數的解析式為( )


A.y=lg2xB.y=2lg4x


C.y=lg2x或y=2lg4xD.不確定





題型二 對數型函數的定義域


注意:求與對數函數有關的函數定義域時,除遵循前面已學習過的求函數定義域的方法外,還要對這種函數自身有如下要求:一是要特別注意真數大于零;二是要注意對數的底數大于零且不等于1.


例2 求下列函數的定義域.


(1)y=lga(3-x)+lga(3+x);(2)y=lg2(16-4x).




















[跟蹤訓練]2 求下列函數的定義域.


(1)y=eq \r(3,lg2x);(2)y=eq \r(lg0.5?4x-3?);


(3)y=eq \r(lg0.5?4x-3?-1);(4)y=lg(x+1)(2-x).


























題型三 比較對數值的大小


例3 比較下列各組中兩個值的大小:


(1)lg31.9,lg32;


(2)lg23,lg0.32;


(3)lgaπ,lga3.14(a>0,a≠1).





























[跟蹤訓練]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )


A.lga5.1lgeq \f(1,2)2.2


C.lg1.1(a+1)







題型四 對數函數的圖象


注意:(1)明確圖象的分布區域.對數函數的圖象在第一、四象限.當x趨近于0時,函數圖象會越來越靠近y軸,但永遠不會與y軸相交.


(2)建立分類討論的思想.在畫對數函數圖象之前要先判斷對數的底數a的取值范圍是a>1,還是0

(3)牢記特殊點.對數函數y=lgax(a>0,且a≠1)的圖象經過點:(1,0),(a,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a),-1)).


例4 畫出函數y=lg|x-1|的圖象.


























例5 (1)函數y=x+a與y=lgax的圖象只可能是下圖中的( )








(2)函數y=lga(x+1)-2(a>0,且a≠1)的圖象恒過點________.





[跟蹤訓練] 3 (1) 已知a>0,且a≠1,則函數y=ax與y=lga(-x)的圖象只能是( )





(2)y=lgaeq \f(2x+1,x-1)+2圖象恒過定點坐標是________.





例6.已知函數y=lg(ax2+2ax+1):


(1)若函數的定義域為R,求a的取值范圍;


(2)若函數的值域為R,求a的取值范圍.









































反思總結











(1)對數函數圖像必經過第一、四象限,在第一象限的規律是:


以直線把第一象限分成兩個區域,每個區域里對數函數底數都是由左向右逐漸增大,如右圖所示,,,,對應,,,,則;


(2)與關于軸對稱;


(3)軸是漸進線,即圖像向上、下無限延伸;








隨堂檢測








1.思考辨析


1.下列函數中,是對數函數的是( )


A.y=lgxa(x>0且x≠1)


B.y=lg2x-1


C.y=2lg8x


D.y=lg5x


2.已知對數函數的圖象過點M(9,2),則此對數函數的解析式為( )


A.y=lg2x B.y=lg3x


C.y= eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD.y= eq lg\s\d8(\f(1,2)) x


3.函數f(x)=eq \r(3-x)+lg(x+1)的定義域為( )


A.[-1,3) B.(-1,3) C.(-1,3] D.[-1,3]


4.已知函數f(x)=lg3(x+1),若f(a)=1,則a等于( )


A.0 B.1 C.2 D.3


5.函數y=lg(x+1)的圖象大致是( )





6.圖中曲線是對數函數的圖象,已知取,,,四個值,則相應于,,,的值依次為





A.,,,B.,,,


C.,,,D.,,,


7.設則( )


A.a>b>cB.a>c>b


C.b>a>cD.b>c>a





8.滿足“對定義域內任意實數x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函數f(x)可以是( )


A.f(x)=x2B.f(x)=2x


C.f(x)=lg2xD.f(x)=elnx


9.如果函數y=lg2x的圖象經過點A(4,y0),那么y0=____.





10.函數y= eq lg\s\d8(\f(1,2)) (3x-2)的定義域是____.


11.已知函數y=lga(x-3)-1的圖象恒過定點P,則點P的坐標是________.





12.已知函數f(x)=lg(x2+ax+1)的定義域是R,則實數a的取值范圍是_______.





13.函數f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax+b,x≤0,,lgc\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,9))),x>0))的圖象如圖所示,則a+b+c=___.





14..已知對數函數f(x)=(m2-m-1)lg(m+1)x,求f(27).

















15.已知f(x)=lgeq \f(1+x,1-x),x∈(-1,1),若f(a)=eq \f(1,2),求f(-a).














16.求下列各式中x的取值范圍:


(1);(2);(3).























17.比較下列各組值的大小:


(1),;(2)lg1.51.6,lg1.51.4;(3)lg0.57,lg0.67;(4)lg3π,lg20.8.


























18..已知函數f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x,x≤0,,lg3x,x>0,))(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))))的值;(2)若f(a)=eq \f(1,2),求a的值.












































19.若函數的定義域為一切實數,求實數的取值范圍.
































課后練習














1.下列函數中,是對數函數的是( )


A.y=lgxa(x>0且x≠1)


B.y=lg2x-1


C.y=2lg8x


D.y=lg5x


2.已知對數函數的圖象過點M(9,2),則此對數函數的解析式為( )


A.y=lg2x B.y=lg3x


C.y= eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD.y= eq lg\s\d8(\f(1,2)) x


3.函數f(x)=ln(1-x)的定義域是( )


A.(0,1)B.[0,1)


C.(1,+∞)D.(-∞,1)


4.y=2x與y=lg2x的圖象關于( )


A.x軸對稱B.直線y=x對稱


C.原點對稱D.y軸對稱


5.設a=lg32,b=lg52,c=lg23,則( D )


A.a>c>bB.b>c>a


C.c>b>aD.c>a>b


6.函數y=lga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的圖象必過定點( )


A(1,2) B (2,2) C (2,3) D (23,2)


7. 如果函數y=lg2x的圖象經過點A(4,y0),那么y0= .


8.設ln b>ln a>ln c,則a,b,c的大小關系為 .


9.若函數f(x)=lgax(0




























10.下列給出的函數:①y=lg5x+1;


②y=lgax2(a>0,且a≠1);③y=lg(3-1)x;


④y=13lg3x;⑤y=lgx3(x>0,且x≠1);


⑥y=lg2πx.其中是對數函數的為( )


A③④⑤ B②④⑥ C①③⑤⑥ D③⑥


11.已知函數f(x)=lga(x+2),若其圖象過點(6,3),則f(2)的值為( )


A.-2 B.2 C.eq \f(1,2)D.-eq \f(1,2)


12.函數y=eq \f(1,\r(3-x))+lg(2x+1)的定義域( )


A.(eq \f(1,2),3] B.(eq \f(1,2),3) C.(-eq \f(1,2),3] D.(-eq \f(1,2),3)


13.已知函數f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=lg3x,直線y=a(a<0)與這三個函數的交點的橫坐標分別是x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關系是( )


A. x2

C. x1

14.函數y=lg2|x|的圖象大致是( )





15.若lgaeq \f(2,5)<1,則a的取值范圍為 .


16.若對數函數f(x)=(a2-2a-2)lgax,則f(9)= .


17.求下列函數的定義域:


(1)y=lg5(1-x);(2)y=lg(3x-1)5;(3)y=eq \f(ln?4-x?,x-3).


























18.比較下列各組數的大小;


(1)lg0.90.8,lg0.90.7,lg0.80.9;


(2)lg32,lg23,lg4eq \f(1,3).


題型一 對數函數的概念


注意:判斷一個函數是對數函數必須是形如y=lgax(a>0且a≠1)的形式,即必須滿足以下條件:


(1)系數為1.(2)底數為大于0且不等于1的常數.(3)對數的真數僅有自變量x.


例1 指出下列函數哪些是對數函數?


(1)y=3lg2x;(2)y=lg6x;


(3)y=lgx3;(4)y=lg2x+1.


(1)lg2x的系數是3,不是1,不是對數函數.


(2)符合對數函數的結構形式,是對數函數.


(3)自變量在底數位置上,不是對數函數.


(4)對數式lg2x后又加1,不是對數函數.





[跟蹤訓練]1(1)對數函數的圖象過點M(16,4),則此對數函數的解析式為





(2)若對數函數y=f(x)滿足f(4)=2,則該對數函數的解析式為( )


A.y=lg2xB.y=2lg4x


C.y=lg2x或y=2lg4xD.不確定


(1) y=lg2x [解析] 設對數函數為y=lgax,則4=lga16,∴a4=16,


∴a=2,∴y=lg2x.


(2)A [解析] 設對數函數的解析式為y=lgax(a>0,且a≠1),由題意可知lga4=2,


∴a2=4,∴a=2.


∴該對數函數的解析式為y=lg2x.





題型二 對數型函數的定義域


注意:求與對數函數有關的函數定義域時,除遵循前面已學習過的求函數定義域的方法外,還要對這種函數自身有如下要求:一是要特別注意真數大于零;二是要注意對數的底數大于零且不等于1.


例2 求下列函數的定義域.


(1)y=lga(3-x)+lga(3+x);


(2)y=lg2(16-4x).


解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3-x>0,,3+x>0,))得-3

∴函數的定義域是(-3,3).


(2)由16-4x>0,得4x<16=42,


由指數函數的單調性得x<2,


∴函數y=lg2(16-4x)的定義域為(-∞,2).





[跟蹤訓練]2 求下列函數的定義域.


(1)y=eq \r(3,lg2x);(2)y=eq \r(lg0.5?4x-3?);


(3)y=eq \r(lg0.5?4x-3?-1);(4)y=lg(x+1)(2-x).


(1)定義域為(0,+∞).


(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x-3>0,,4x-3≤1,))解得eq \f(3,4)

(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x-3>0,,4x-3≤\f(1,2),))解得eq \f(3,4)

(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+1>0,,x+1≠1,,2-x>0,))解得-1




題型三 比較對數值的大小


例3 比較下列各組中兩個值的大小:


(1)lg31.9,lg32;


(2)lg23,lg0.32;


(3)lgaπ,lga3.14(a>0,a≠1).


解 (1)因為y=lg3x在(0,+∞)上是增函數,所以lg31.9

(2)因為lg23>lg21=0,lg0.32lg0.32.


(3)當a>1時,函數y=lgax在(0,+∞)上是增函數,則有lgaπ>lga3.14;


當0

綜上所得,當a>1時,lgaπ>lga3.14;當0




[跟蹤訓練]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )


A.lga5.1lgeq \f(1,2)2.2


C.lg1.1(a+1)




對于選項A,因為a和1大小的關系不確定,無法確定指數函數和對數函數的單調性,故A不成立;對于選項B,因為以eq \f(1,2)為底的對數函數是減函數,所以成立;對于選項C,因為以1.1為底的對數函數是增函數,所以不成立;對于選項D,lg32.9>0,lg0.52.2<0,故不成立,故選B.





題型四 對數函數的圖象


注意:(1)明確圖象的分布區域.對數函數的圖象在第一、四象限.當x趨近于0時,函數圖象會越來越靠近y軸,但永遠不會與y軸相交.


(2)建立分類討論的思想.在畫對數函數圖象之前要先判斷對數的底數a的取值范圍是a>1,還是0

(3)牢記特殊點.對數函數y=lgax(a>0,且a≠1)的圖象經過點:(1,0),(a,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a),-1)).


例4 畫出函數y=lg|x-1|的圖象.





解 (1)先畫出函數y=lg x的圖象(如圖).





(2)再畫出函數y=lg|x|的圖象(如圖).





(3)最后畫出函數y=lg|x-1|的圖象(如圖).











例5 (1)函數y=x+a與y=lgax的圖象只可能是下圖中的( )








(2)函數y=lga(x+1)-2(a>0,且a≠1)的圖象恒過點________.


(1) C


(2)(0,-2) 因為函數y=lgax (a>0,且a≠1)的圖象恒過點(1,0),則令x+1=1得x=0,此時y=lga(x+1)-2=-2,所以函數y=lga(x+1)-2(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(0,-2).





[跟蹤訓練] 3 (1) 已知a>0,且a≠1,則函數y=ax與y=lga(-x)的圖象只能是( )





(2)y=lgaeq \f(2x+1,x-1)+2圖象恒過定點坐標是________.





(1) B 若01,則函數y=ax的圖象上升且過點(0,1),而函數y=lga(-x)的圖象下降且過點(-1,0),只有B中圖象符合.


(2)(-2,2) [解析] 令eq \f(2x+1,x-1)=1,得x=-2,此時y=2,∴函數y=lgaeq \f(2x+1,x-1)+2過定點(-2,2).


例6.已知函數y=lg(ax2+2ax+1):


(1)若函數的定義域為R,求a的取值范圍;


(2)若函數的值域為R,求a的取值范圍.


【分析】(1)由于函數的定義域為R,可得ax2+2ax+1>0恒成立.當a=0時,顯然成立,當a≠0時,應有a>0且△=4a2﹣4a<0,由此求得a的取值范圍.


(2)若函數的值域為R,則ax2+2ax+1能取遍所有的正整數,故有 a>0且△=4a2﹣4a≥0,由此求得a的取值范圍.


【解答】解:(1)∵函數的定義域為R,∴ax2+2ax+1>0恒成立.當a=0時,顯然成立.


當a≠0時,應有a>0且△=4a2﹣4a<0,解得 a<1.


故a的取值范圍為[0,1).


(2)若函數的值域為R,則ax2+2ax+1能取遍所有的正整數,∴a>0且△=4a2﹣4a≥0.


解得 a≥1,故a的取值范圍為[1,+∞).





反思總結











(1)對數函數圖像必經過第一、四象限,在第一象限的規律是:


以直線把第一象限分成兩個區域,每個區域里對數函數底數都是由左向右逐漸增大,如右圖所示,,,,對應,,,,則;


(2)與關于軸對稱;


(3)軸是漸進線,即圖像向上、下無限延伸;








隨堂檢測








1.思考辨析





1.下列函數中,是對數函數的是( D )


A.y=lgxa(x>0且x≠1)


B.y=lg2x-1


C.y=2lg8x


D.y=lg5x


[解析] A、B、C都不符合對數函數的定義,故選D.


2.已知對數函數的圖象過點M(9,2),則此對數函數的解析式為( B )


A.y=lg2x B.y=lg3x


C.y= eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD.y= eq lg\s\d8(\f(1,2)) x


[解析] 設對數函數為y=lgax,則2=lga9,


∴a2=9,∴a=3,∴y=lg3x,故選B.


3.函數f(x)=eq \r(3-x)+lg(x+1)的定義域為( )C


A.[-1,3) B.(-1,3) C.(-1,3] D.[-1,3]


4.已知函數f(x)=lg3(x+1),若f(a)=1,則a等于( )C


A.0 B.1 C.2 D.3


5.函數y=lg(x+1)的圖象大致是( )C





6.圖中曲線是對數函數的圖象,已知取,,,四個值,則相應于,,,的值依次為





A.,,,B.,,,


C.,,,D.,,,


【答案】A


【解析】


由已知中曲線是對數函數的圖象,


由對數函數的圖象和性質,可得,,,的值從小到大依次為:,,,,


由取,,,四個值,


故,,,的值依次為,,,,


故選:.


7.設則( )


A.a>b>cB.a>c>b


C.b>a>cD.b>c>a


【答案】A


【解析】








.


故選:A.





8.滿足“對定義域內任意實數x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函數f(x)可以是( C )


A.f(x)=x2B.f(x)=2x


C.f(x)=lg2xD.f(x)=elnx


[解析] ∵對數運算律中有lgaM+lgaN=lga(MN),


∴f(x)=lg2x滿足題目要求.





9.如果函數y=lg2x的圖象經過點A(4,y0),那么y0=__2__.


[解析] 將A(4,y0)代入y=lg2x得lg24=y0,∴y0=2.


10.函數y= eq lg\s\d8(\f(1,2)) (3x-2)的定義域是__(eq \f(2,3),+∞)__.


[解析] 由3x-2>0得x>eq \f(2,3),所以函數的定義域為(eq \f(2,3),+∞).





11.已知函數y=lga(x-3)-1的圖象恒過定點P,則點P的坐標是________.


(4,-1) [解析] y=lgax的圖象恒過點(1,0),令x-3=1,得x=4,則y=-1.


12.已知函數f(x)=lg(x2+ax+1)的定義域是R,則實數a的取值范圍是__(-2,2)__.





[解析] 由題意知x2+ax+1>0恒成立,所以Δ=a2-4<0,即-2




13.函數f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax+b,x≤0,,lgc\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,9))),x>0))的圖象如圖所示,則a+b+c=__eq \f(13,3)__.





[解析] 由題圖可求得直線的方程為y=2x+2,即a=2,b=2,又函數y=lgceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,9)))的圖象過點(0,2),將其坐標代入可得c=eq \f(1,3),所以a+b+c=2+2+eq \f(1,3)=eq \f(13,3).


14..已知對數函數f(x)=(m2-m-1)lg(m+1)x,求f(27).


[解析] ∵f(x)是對數函數,∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2-m-1=1,m+1>0,m+1≠1)),


解得m=2.


∴f(x)=lg3x,∴f(27)=lg327=3.


15.已知f(x)=lgeq \f(1+x,1-x),x∈(-1,1),若f(a)=eq \f(1,2),求f(-a).


[解析] 解法一:∵f(-x)=lgeq \f(1-x,1+x)=lg(eq \f(1+x,1-x))-1=-f(x),∴f(-a)=-f(a)=-eq \f(1,2).


解法二:f(a)=lgeq \f(1+a,1-a),


f(-a)=lgeq \f(1-a,1+a)=lg(eq \f(1+a,1-a))-1=-lgeq \f(1+a,1-a)=-eq \f(1,2).


16.求下列各式中x的取值范圍:


(1);


(2);


(3).


(1),,解得:或,


的取值范圍是.


(2)


,解得:,


的取值范圍是.


(3)


,解得:,


的取值范圍是.





17.比較下列各組值的大小:


(1),;


(2)lg1.51.6,lg1.51.4;


(3)lg0.57,lg0.67;


(4)lg3π,lg20.8.





18..已知函數f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x,x≤0,,lg3x,x>0,))(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))))的值;(2)若f(a)=eq \f(1,2),求a的值.


解 (1)∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))=lg3eq \f(1,27)=-3,∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))))=f(-3)=2-3=eq \f(1,8).


(2)當a>0時,由f(a)=eq \f(1,2),得lg3a=eq \f(1,2).∴a==eq \r(3).


當a≤0時,由f(a)=eq \f(1,2),得2a=eq \f(1,2),∴a=-1,


綜上所述a的值為-1或eq \r(3).





19.若函數的定義域為一切實數,求實數的取值范圍.


解析:因為函數的定義域為一切,


等價于,對任意的實數恒成立.


當時,,符合條件.


當時,.


綜上.


故答案為:





課后練習














1.下列函數中,是對數函數的是( )


A.y=lgxa(x>0且x≠1)


B.y=lg2x-1


C.y=2lg8x


D.y=lg5x


2.已知對數函數的圖象過點M(9,2),則此對數函數的解析式為( )


A.y=lg2x B.y=lg3x


C.y= eq lg\s\d8(\f(1,3)) xD.y= eq lg\s\d8(\f(1,2)) x


3.函數f(x)=ln(1-x)的定義域是( )


A.(0,1)B.[0,1)


C.(1,+∞)D.(-∞,1)


4.y=2x與y=lg2x的圖象關于( )


A.x軸對稱B.直線y=x對稱


C.原點對稱D.y軸對稱


5.設a=lg32,b=lg52,c=lg23,則( D )


A.a>c>bB.b>c>a


C.c>b>aD.c>a>b


6.函數y=lga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的圖象必過定點( )


A(1,2) B (2,2) C (2,3) D (23,2)


7. 如果函數y=lg2x的圖象經過點A(4,y0),那么y0= .


8.設ln b>ln a>ln c,則a,b,c的大小關系為 .


9.若函數f(x)=lgax(0



















10.下列給出的函數:①y=lg5x+1;


②y=lgax2(a>0,且a≠1);③y=lg(3-1)x;


④y=13lg3x;⑤y=lgx3(x>0,且x≠1);


⑥y=lg2πx.其中是對數函數的為( )


A③④⑤ B②④⑥ C①③⑤⑥ D③⑥


11.已知函數f(x)=lga(x+2),若其圖象過點(6,3),則f(2)的值為( )


A.-2 B.2 C.eq \f(1,2)D.-eq \f(1,2)


12.函數y=eq \f(1,\r(3-x))+lg(2x+1)的定義域( )


A.(eq \f(1,2),3] B.(eq \f(1,2),3) C.(-eq \f(1,2),3] D.(-eq \f(1,2),3)


13.已知函數f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=lg3x,直線y=a(a<0)與這三個函數的交點的橫坐標分別是x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關系是( )


A. x2

C. x1

14.函數y=lg2|x|的圖象大致是( )





15.若lgaeq \f(2,5)<1,則a的取值范圍為 .


16.若對數函數f(x)=(a2-2a-2)lgax,則f(9)= .


17.求下列函數的定義域:


(1)y=lg5(1-x);


(2)y=lg(3x-1)5;


(3)y=eq \f(ln?4-x?,x-3).








18.比較下列各組數的大小;


(1)lg0.90.8,lg0.90.7,lg0.80.9;


(2)lg32,lg23,lg4eq \f(1,3).





【參考答案】


1. D [解析] A、B、C都不符合對數函數的定義,故選D.


2. B [解析]設對數函數為y=lgax,則2=lga9,∴a2=9,∴a=3,∴y=lg3x,故選B.


3. D [解析]由1-x>0得x<1,故選D.


4. B 解析]函數y=2x與函數y=lg2x是互為反函數,故它們的圖象關于直線y=x對稱.


5. D 解析] a=lg32lg22=1,由對數函數的性質知lg52

6. A 解析:令3x-2=1,得x=1,又lga(3×1-2)+2=2,故定點為(1,2),選A.


7. 2 [解析] 將A(4,y0)代入y=lg2x得lg24=y0,∴y0=2.


8. b>a>c 解析:由對數函數的圖象與性質可知,函數y=ln x在(0,+∞)上為單調遞增函數,因為ln b>ln a>ln c,所以b>a>c.


9.[解析] 由題意得f(x)max=lgaa=1,f(x)min=lga(2a)=1+lga2,∴1=3×(1+lga2),∴a=eq \f(\r(2),4).


10. D 解析:①②④不滿足對數函數解析式特征,⑤中真數是常數,故只有③⑥是對數函數.選D.


11. B [解析] 由題意得3=lga8,∴a3=8,∴a=2.∴f(x)=lg2(x+2),∴f(2)=lg24=2.


12. D [解析] 由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3-x>0,2x+1>0)),∴-eq \f(1,2)

13.A 解析:令a=-1,得ln x1=-1,lg x2=-1,lg3x3=-1,故x1=1e,x2=110,x3=13,則x1>x3>x2.選A.


14. A 解析:函數y=lg2|x|為偶函數,且x>0時,y=lg2x,故選A.


15. 0<a<eq \f(2,5)或a>1 解析 lgaeq \f(2,5)<1即lgaeq \f(2,5)<lgaa,當a>1時,函數y=lgax在定義域內是增函數,所以lgaeq \f(2,5)<lgaa總成立;


當0<a<1時,函數y=lgax在定義域內是減函數,由lgaeq \f(2,5)<lgaa,得a<eq \f(2,5),故0<a<eq \f(2,5).


故a的取值范圍為0<a<eq \f(2,5)或a>1.


解析:由對數函數定義知a2-2a-2=1,a>0且a≠1,故a=3或a=-1(舍去),則f(x)=lg3x,故f(9)=lg39=2.


17 (1)要使函數式有意義,需1-x>0,解得x<1,


所以函數y=lg5(1-x)的定義域是{x|x<1}.


(2)要使函數式有意義,需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x-1>0,,3x-1≠1,))


解得x>eq \f(1,3),且x≠eq \f(2,3),


所以函數y=lg(3x-1)5的定義域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,3),且x≠\f(2,3))))).


(3)要使函數式有意義,需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4-x>0,,x-3≠0,))


解得x<4,且x≠3,


所以函數y=eq \f(ln?4-x?,x-3)的定義域是{x|x<4,且x≠3}.


18.(1)lg0.80.9<lg0.90.8<lg0.90.7;(2)lg4eq \f(1,3)<lg32<lg23


【解析】(1)因為y=lg0.9x在(0,+∞)上是減函數,且0.9>0.8>0.7,所以1<lg0.90.8<


又因為lg0.80.9<lg0.80.8=1,所以lg0.80.9<lg0.90.8<


(2)由lg31<lg32<lg33,得0<lg32<1.


又因為lg23>lg22=1,lg4eq \f(1,3)<lg41=0,所以lg4eq \f(1,3)<lg32<lg23.








定義
形如(且)的函數叫做對數函數
定義域
值域
圖像
性質
奇偶性
非奇非偶函數
單調性
在上是增函數
上是減函數
范圍
當時,;


當時,
當時,;


當時,
定點
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