2020_2021學年高考數學考點第三章函數概念與基本初等函數Ⅰ函數模型及其應用理20201013156
展開函數模型及其應用
1．幾類函數模型
函數模型 | 函數解析式 |
一次函數模型 | f (x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0) |
反比例函數模型 | f (x)＝＋b(k，b為常數且k≠0) |
二次函數模型 | f (x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c為常數，a≠0) |
指數函數模型 | f (x)＝bax＋c (a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1) |
對數函數模型 | f (x)＝blogax＋c (a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1) |
冪函數模型 | f (x)＝axn＋b (a，b為常數，a≠0) |
2.三種函數模型的性質
函數 性質 | y＝ax(a>1) | y＝logax(a>1) | y＝xn(n>0) |
在(0，＋∞)上的增減性 | 單調遞增 | 單調遞增 | 單調遞增 |
增長速度 | 越來越快 | 越來越慢 | 相對平穩 |
圖象的變化 | 隨x的增大逐漸表現為與y軸平行 | 隨x的增大逐漸表現為與x軸平行 | 隨n值變化而各有不同 |
值的比較 | 存在一個x0，當x>x0時，有logax<xn<ax | ||
概念方法微思考
請用框圖概括解函數應用題的一般步驟．
提示 解函數應用題的步驟
1．（2020?山東）基本再生數與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數．基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數隨時間（單位：天）的變化規律，指數增長率與，近似滿足．有學者基于已有數據估計出，．據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【解析】把，代入，可得，，
當時，，則，
兩邊取對數得，解得．
故選．
2．（2020?新課標Ⅲ）模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數．當時，標志著已初步遏制疫情，則約為
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【解析】由已知可得，解得，
兩邊取對數有，
解得，
故選．
3．（2019?新課標Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就．實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為，月球質量為，地月距離為，點到月球的距離為，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，滿足方程：．
設．由于的值很小，因此在近似計算中，則的近似值為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】．，
滿足方程：．
，
．
故選．
4．（2020?上海）在研究某市場交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內通過的車輛數除以時間，車輛密度是該路段一定
時間內通過的車輛數除以該路段的長度，現定義交通流量為，為道路密度，為車輛密度．
．
（1）若交通流量，求道路密度的取值范圍；
（2）已知道路密度，交通流量，求車輛密度的最大值．
【解析】（1），越大，越小，
是單調遞減函數，，
當時，最大為85，
于是只需令，解得，
故道路密度的取值范圍為．
（2）把，代入中，
得，解得．
，
①當時，，
．
②當時，是關于的二次函數，，
對稱軸為，此時有最大值，為．
綜上所述，車輛密度的最大值為．
5．（2020?上海）有一條長為120米的步行道，是垃圾投放點，若以為原點，為軸正半軸建立直角坐標系，設點，現要建設另一座垃圾投放點，函數表示與點距離最近的垃圾投放點的距離．
（1）若，求、、的值，并寫出的函數解析式；
（2）若可以通過與坐標軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利．問：垃圾投放點建在何處才能比建在中點時更加便利？
【解析】（1）投放點，，表示與距離最近的投放點（即的距離，
所以，同理分析，，，
由題意得，，，
則當，即時，；
當，即時，；
綜上；
（2）由題意得，，
所以，則與坐標軸圍成的面積如陰影部分所示，
所以，
由題意，，即，
解得，即垃圾投放點建在與之間時，比建在中點時更加便利．
6．（2019?上海）改革開放40年，我國衛生事業取得巨大成就，衛生總費用增長了數十倍．衛生總費用包括個人現在支出、社會支出、政府支出，如表為2012年年我國衛生貨用中個人現金支出、社會支出和政府支出的費用（單位：億元）和在衛生總費用中的占比．
年份 | 衛生總費用（億元） | 個人現金衛生支出 | 社會衛生支出 | 政府衛生支出 | |||
絕對數（億元） | 占衛生總費用比重 | 絕對數（億元） | 占衛生總費用比重 | 絕對數（億元） | 占衛生總費用比重 | ||
2012 | 28119.00 | 9656.32 | 34.34 | 10030.70 | 35.67 | 8431.98 | 29.99 |
2013 | 31668.95 | 10729.34 | 33.88 | 11393.79 | 35.98 | 9545.81 | 30.14 |
2014 | 35312.40 | 11295.41 | 31.99 | 13437.75 | 38.05 | 10579.23 | 29.96 |
2015 | 40974.64 | 11992.65 | 29.27 | 16506.71 | 40.29 | 12475.28 | 30.45 |
（數據來源于國家統計年鑒）
（1）指出2012年到2015年之間我國衛生總費用中個人現金支出占比和社會支出占比的變化趨勢：
（2）設表示1978年，第年衛生總費用與年份之間擬合函數研究函數的單調性，并預測我國衛生總費用首次超過12萬億的年份．
【解析】（1）由表格數據可知個人現金支出占比逐漸減少，社會支出占比逐漸增多．
（2）是減函數，且，
在上單調遞增，
令，解得，
當時，我國衛生總費用超過12萬億，
預測我國到2028年我國衛生總費用首次超過12萬億．
7．（2017?上海）根據預測，某地第個月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，第個月底的共享單車的保有量是前個月的累計投放量與累計損失量的差．
（1）求該地區第4個月底的共享單車的保有量；
（2）已知該地共享單車停放點第個月底的單車容納量（單位：輛）．設在某月底，共享單車保有量達到最大，問該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量？
【解析】（1），
前4個月共投放單車為，
前4個月共損失單車為，
該地區第4個月底的共享單車的保有量為．
（2）令，顯然時恒成立，
當時，有，解得，
第42個月底，保有量達到最大．
當，為公差為等差數列，而為等差為1的等差數列，
到第42個月底，單車保有量為．
．
，
第42個月底單車保有量超過了容納量．
8．（2016?新課標Ⅰ）某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得如圖柱狀圖：
記表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數，表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），表示購機的同時購買的易損零件數．
（Ⅰ）若，求與的函數解析式；
（Ⅱ）若要求“需更換的易損零件數不大于”的頻率不小于0.5，求的最小值；
（Ⅲ）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數，以此作為決策依據，購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？
【解析】（Ⅰ）當時，
（Ⅱ）由柱狀圖知，更換的易損零件數為16個頻率為0.06，
更換的易損零件數為17個頻率為0.16，
更換的易損零件數為18個頻率為0.24，
更換的易損零件數為19個頻率為0.24
又更換易損零件不大于的頻率為不小于0.5．
則
的最小值為19件；
（Ⅲ）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，
所須費用平均數為：（元
假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買20個易損零件，
所須費用平均數為（元
購買1臺機器的同時應購買19臺易損零件．
1．（2020?梅河口市校級模擬）“開車不喝酒，喝酒不開車．”近日，公安部交通管理局下發《關于2019年治理酒駕醉駕違法犯罪行為的指導意見》，對綜合治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規定，根據國家質量監督檢驗檢疫總局下發的標準，車輛駕駛人員飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見表．經過反復試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規律的“散點圖”見圖，且圖表示的函數模型，則該人喝一瓶啤酒后至少經過多長時間才可以駕車（時間以整小時計算）？（參考數據：，
表：車輛駕駛人員血液酒精含量閾值
駕駛行為類別 | 閾值 |
飲酒后駕車 | ， |
醉酒后駕車 |
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由散點圖可得該人喝一瓶啤酒后的2個小時內，其酒精含量閾值大于20，
令，故，
所以，
故選．
2．（2020?碑林區校級模擬）咖啡產品的經營和銷售如何在中國開拓市場是星巴克、漫咖啡等歐美品牌一直在探索的內容，而2018年至今中國咖啡行業的發展實踐證明了以優質的原材料供應以及大量優惠券、買贈活動吸引消費者無疑是開拓咖啡的中國市場的最有效的方式之一．若某品牌的某種在售咖啡產品價格為30元杯，其原材料成本為7元杯，營銷成本為5元杯，且品牌門店提供如下4種優惠方式：
（1）首杯免單，每人限用一次；
（2）3.8折優惠券，每人限用一次；
（3）買2杯送2杯，每人限用兩次；
（4）買5杯送5杯，不限使用人數和使用次數．
每位消費者都可以用以上4種優惠方式中選擇不多于2種使用．現在某個公司有5位后勤工作人員去該品牌門店幫每位技術人員購買1杯咖啡，購買杯數與技術人員人數須保持一致；請問，這個公司的技術人員不少于 人時，無論5位后勤人員采用什么樣的優惠方式購買咖啡，這筆訂單該品牌門店都能保證盈利．
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】C
【解析】由題意知，咖啡產品原價為 30 元杯，成本為 12 元杯，
優惠方式（1）免單購買，每購買1杯該品牌門店虧損12元；
優惠方式（2）每杯售價11.4元，每購買1杯該品牌店虧損0.6元；
優惠方式（3）和（4）相當于5折購買，每購買1杯該品牌門店盈利3元；
我們只需要考慮最優的購買方式，每位后勤工作人員能選擇2種優惠方式，
必然包含優惠方式（1），可以免單購買5杯咖啡，該品牌門店因此虧損60元，
最優的購買方式是不包含原價購買任何一杯咖啡
，說明只要用原價購買1杯咖啡，哪怕最大程度利用3.8折優惠，花費也一定會超過搭配使用（2）（4）優惠購買咖啡），
故顯然該品牌門店必須按照優惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利，
故技術人員人數一定多于人；
技術人員在人時，免單購買5杯咖啡買5送5購買20杯咖啡折購買14杯咖啡，該品牌門店依舊虧損；
技術人員為30人時，最優購買方式為免單購買5杯咖啡十買5送5購買20杯咖啡十買2送2購買4杯咖啡折購買1杯咖啡，
該品牌門店盈利元； 由于 4，
故技術人員超過30人時，該品牌門店能保證持續盈利．
故選．
3．（2020?道里區校級四模）中國的技術領先世界，技術的數學原理之一便是著名的香農公式：．它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內信號的平均功率，信道內部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數中的1可以忽略不計．按照香農公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了 附：
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當 時，，
當 時，，
因為，
所以將信噪比 從1000提升至 4000，則 大約增加了，
故選．
4．（2020?吉林四模）某品牌牛奶的保質期（單位：天）與儲存溫度（單位：滿足函數關系，該品牌牛奶在的保質期為270天，在的保質期為180天，則該品牌牛奶在的保質期是
A．60天 B．70天 C．80天 D．90天
【答案】C
【解析】某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：滿足函數關系，
該品牌牛奶在的保質期為270天，在的保質期為180天，
，解得，
該品牌牛奶在的保質期：（天．
故選．
5．（2020?成都模擬）為迎接大運會的到來，學校決定在半徑為的半圓形空地的內部修建一矩形觀賽場地，如圖所示．則觀賽場地的面積最大值為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意矩形的另兩個頂點在半圓軸上時，矩形面積才能取得最大值，，
設矩形在半圓板直徑上的一邊長為，角如圖所示，
則，另一邊的長為，
矩形面積為，
當即時，也即長為，
寬為時，矩形面積最大．
最大面積是．
故選．
6．（2020?茂名二模）在《周髀算經》中，把圓及其內接正方形稱為圓方圖，把正方形及其內切圓稱為方圓圖．圓方圖和方圓圖在我國古代的設計和建筑領域有著廣泛的應用．山西應縣木塔是我國現存最古老、最高大的純木結構樓閣式建筑，它的正面圖如圖所示．以該木塔底層的邊作方形，會發現塔的高度正好跟此對角線長度相等．以塔底座的邊作方形，作方圓圖，會發現方圓的切點正好位于塔身和塔頂的分界．經測量發現，木塔底層的邊不少于47.5米，塔頂到點的距離不超過19.9米，則該木塔的高度可能是 （參考數據：
A．66.1米 B．67.3米 C．68.5米 D．69.0米
【答案】B
【解析】設該木塔的高度為，則由圖可知，（米．
同時，
（米．
即木塔的高度約在67.165米至67.9米之間，
結合選項，可得．
故選．
7．（2020?漳州三模）中國是茶的故鄉，也是茶文化的發源地．中國茶的發現和利用已有四千七百多年的歷史，且長盛不衰，傳遍全球為了弘揚中國茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，為了解每壺“金萱排骨茶”中所放茶葉量克與食客的滿意率的關系，通過試驗調查研究，發現可選擇函數模型來擬合與的關系，根據以下數據：
茶葉量克 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
4.34 | 4.36 | 4.44 | 4.45 | 4.51 |
可求得關于的回歸方程為
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】可令，
因為，
．
所以關于的回歸直線過點，
又，
，
，
，
把代入上面4個解析式檢驗可知只有過點，
故選．
8．（2020?濟南模擬）“平均增長量”是指一段時間內某一數據指標增長量的平均值，其計算方法是將每一期增長量相加后，除以期數，即．國內生產總值被公認為是衡量國家經濟狀況的最佳指標，如表是我國年數據：
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
國內生產總值萬億 | 68.89 | 74.64 | 83.20 | 91.93 | 99.09 |
根據表中數據，年我國的平均增長量為
A．5.03萬億 B．6.04萬億 C．7.55萬億 D．10.07萬億
【答案】C
【解析】設2015年國內生產總值為萬億，則依次萬億，
萬億，萬億，萬億．
年我國的平均增長量為：
萬億．
答：年我國的平均增長量為7.55萬億．
故選．
9．（2020?廈門模擬）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產卵．記鮭魚的游速為（單位：，鮭魚的耗氧量的單位數為．科學研究發現與成正比．當時，鮭魚的耗氧量的單位數為890．則當時，其耗氧量的單位數為
A．2670 B．7120 C．7921 D．8010
【答案】C
【解析】與成正比，比例系數設為，
可得，
當時，，
即有，
即，
則當時，，
即，
則，
可得，
故選．
10．（2020?張家口二模）為徹底打贏脫貧攻堅戰，2020年春，某市政府投入資金幫扶某農戶種植蔬菜大棚脫貧致富，若該農戶計劃種植冬瓜和茄子，總面積不超過15畝，幫扶資金不超過4萬元，冬瓜每畝產量10000斤，成本2000元，每斤售價0.5元，茄子每畝產量5000斤，成本3000元，每斤售價1.4元，則該農戶種植冬瓜和茄子利潤的最大值為
A．4萬元 B．5.5萬元 C．6.5萬元 D．10萬元
【答案】B
【解析】設冬瓜和茄子的種植面積分別為，畝，總利潤萬元，
則目標函數
，
線性約束條件為，即，
作出可行域如圖，由可得，即，
平移直線，可知直線經過點時，
即，時，取得最大值5.5萬元．
故選．
11．（2020?合肥三模）某校高一年級研究性學習小組利用激光多普勒測速儀實地測量復興號高鐵在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發出的光平均分成兩束射出，在被測物體表面匯聚，探測器接收反射光．當被測物體橫向速度為零時，反射光與探測光頻率相同．當橫向速度不為零時，反射光相對探測光會發生頻移，其中為測速儀測得被測物體的橫向速度，為激光波長，為兩束探測光線夾角的一半，如圖，若激光測速儀安裝在距離高鐵處，發出的激光波長為，測得某時刻頻移為，則該時刻高鐵的速度約等于
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
故，即，
故米小時．
故選．
12．（2020?成都模擬）為迎接大運會的到來，學校決定在半徑為，圓心角為的扇形空地的內部修建一平行四邊形觀賽場地，如圖所示，則觀賽場地的面積最大值為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，作，，垂足分別為、，則平行四邊形面積即為矩形的面積，
設，由題，則，，
所以矩形面積
，其中，
則，，所以當時，矩形面積最大，最大值為，
此時平行四邊形的面積也取得最大值．
故選．
13．（2020?房山區二模）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經過分鐘后物體的溫度可由公式求得，其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數．現有的物體，放在的空氣中冷卻，4分鐘以后物體的溫度是，則約等于 （參考數據：
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】D
【解析】由題意可得：，
，
兩邊取對數可得：，
．
故選．
14．（2020?山東模擬）某學校數學建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度（每層玻璃的厚度相同）及兩層玻璃間夾空氣層厚度對保溫效果的影響，利用熱傳導定律得到熱傳導量滿足關系式，其中玻璃的熱傳導系數焦耳（厘米度），不流通、干燥空氣的熱傳導系數焦耳（厘米度），△為室內外溫度差，值越小，保溫效果越好，現有4種型號的雙層玻璃窗戶，具體數據如表：
型號 | 每層玻璃厚度 （單位：厘米） | 玻璃間夾空氣層厚度 （單位：厘米） |
型 | 0.4 | 3 |
型 | 0.3 | 4 |
型 | 0.5 | 3 |
型 | 0.4 | 4 |
則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是
A．型 B．型 C．型 D．型
【答案】D
【解析】設，
，，，，
，
和△均為正常數，
，
型玻璃保溫效果最好．
故選．
15．（2020?遼寧模擬）人們通常以分貝（符號是為單位來表示聲音強度的等級，分貝是較理想的安靜環境，超過50分貝就會影響睡眠和休息，70分貝以上會干擾談話，長期生活在90分貝以上的嗓聲環境，會嚴重影響聽力和引起神經衰弱、頭疼、血壓升高等疾病，如果突然暴露在高達150分貝的噪聲環境中，聽覺器官會發生急劇外傷，引起鼓膜破裂出血，雙耳完全失去聽力，為了保護聽力，應控制噪聲不超過90分貝，一般地，如果強度為的聲音對應的等級為，則有，則的聲音與的聲音強度之比為
A．10 B．100 C．1000 D．10000
【答案】D
【解析】由題意，可知
當聲音強度的等級為時，有，
即，
則，
此時對應的強度，
當聲音強度的等級為時，有，
即，
則，
此時對應的強度，
的聲音與的聲音強度之比為．
故選．
16．（2020?茂名二模）某貧困縣為了實施精準扶貧計劃，使困難群眾脫貧致富，對貧困戶實行購買飼料優惠政策如下：
（1）若購買飼料不超過2000元，則不給予優惠；
（2）若購買飼料超過2000元但不超過5000元，則按標價給予9折優惠；
（3）若購買飼料超過5000元，其5000元內的給予9折優惠，超過5000元的部分給予7折優惠．
某貧窮戶購買一批飼料，有如下兩種方案：
方案一：分兩次付款購買，分別為2880元和4850元；
方案二：一次性付款購買．
若取用方案二購買此批飼料，則比方案一節省 元
A．540 B．620 C．640 D．800
【答案】C
【解析】由題意可得，方案一中第一次付款2880元時，
，
該款飼料的原價享受了9折優惠，則其原價為元；
第二次付款4850元時，
，且，
其原來的價格為元．
分兩次購買飼料的原價為元．
方案二：若一次性付款，則應付款為：元，
方案二比方案一節省元．
故選．
17．（2020?武漢模擬）技術的數學原理之一便是著名的香農公式：．它表示：在受噪聲干撓的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內信號的平均功率、信道內部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．按照香農公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至2000，則大約增加了
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】將信噪比從1000提升至2000時，大約增加了
，
故選．
18．（2020?威海一模）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究發現地震釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為．2011年3月11日，日本東北部海域發生里氏9.0級地震與2008年5月12日我國汶川發生里氏8.0級地震所釋放出來的能量的比值為
A． B．1.5 C． D．
【答案】A
【解析】設日本地震所釋放出的能量是，汶川地震所釋放出的能量是，
則，，
，；
．
故選．
19．（2020?道里區校級一模）某商場每天的食品銷售額（萬元）與該商場的總銷售額（萬元）具有相關關系，且回歸方程為．已知該商場平均每天的食品銷售額為8萬元，估計該商場平均每天的食品銷售額與平均每天的總銷售額的比值為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】商場每天的食品銷售額（萬元）與該商場的總銷售額（萬元）的線性回歸方程為，
當商場平均每天的食品銷售額為8萬元時，該商場平均每天的總銷售額為，
該商場平均每天的食品銷售額與平均每天的總銷售額的比值為：，
故選．
20．（2020?運城一模）公元前5世紀，古希臘哲學家芝諾發表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面1000米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜的10倍．當比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時烏龜便領先他100米，當阿基里斯跑完下一個100米時，烏龜先他10米，當阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜先他1米，，所以，阿基里斯永遠追不上烏龜．按照這樣的規律，若阿基里斯和烏龜的距離恰好為0.1米時，烏龜爬行的總距離為
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】由題意可知，烏龜每次爬行的距離構成等比數列，且，，，
烏龜爬行的總距離為，
故選．
21．（2020?橋西區校級模擬）2019年國際泳聯游泳錦標賽在韓國光州舉行，最終中國隊收獲16枚金牌，位列金牌榜第振奮人心！在這屆國際游泳錦標賽的200米男子自由泳決賽中，中國某游泳名將的成績是1分44.93秒，若該名將游泳時每劃的距離略低于自身的身高（整個過程視為勻速，且每劃的距離視為近似相等），則他在這次決賽中前20秒的總劃數可能為
A．15 B．21 C．27 D．33
【答案】B
【解析】這名游泳名將每秒鐘劃水的距離約為，
若20秒的總劃數為21，則平均每秒鐘的劃數為1.05，
則，符合每劃的距離略低于自身的身高這條件，而其他選項不符合條件．
故選．
22．（2020?重慶模擬）為實現國民經濟新“三步走”的發展戰略目標，國家加大了扶貧攻堅的力度，某地區在2015年以前的年均脫貧率（脫貧的戶數占當年貧困戶總數的比）為，2015年開始全面實施“精準扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數占比（參加戶數占2019年貧困總戶數的比）及該項目的脫貧率見表：
實施項目 | 種植業 | 養殖業 | 工廠就業 |
參加占戶比 | |||
脫貧率 |
那么2019年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的 倍．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】2019年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的倍．
故選．
23．（2020?荊門模擬）我國南北朝時的數學著作《張邱建算經》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問各得金幾何？“則在該問題中，等級較高的一等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金
A．多斤 B．少斤 C．多斤 D．少斤
【答案】A
【解析】設十等人得金從高到低依次，，，，則為等差數列，
設公差為，則由題意可知；
，，
；
．
即等級較高的一等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金多斤．
故選．
24．（2020?衡陽一模）衡東土菜辣美鮮香，享譽三湘．某衡東土菜館為實現100萬元年經營利潤目標，擬制定員工的獎勵方案：在經營利潤超過6萬元的前提下獎勵，且獎金（單位：萬元）隨經營利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，同時獎金不能超過利潤的．下列函數模型中，符合該點要求的是
（參考數據：，
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對于函數：，當時，，不符合題意；
對于函數：，當時，，不符合題意；
對于函數：，不滿足遞增，不符合題意；
對于函數：，滿足，，增函數，
且 ，
結合圖象，與 的圖象如圖所示：
符合題意，
故選．
25．（2020?湖北模擬）眾所周知，銀行的運營方式一直是個謎，但去銀行存款卻又是一個十分實際的問題，所以理解清楚銀行的運營方式對我們進入社會大展手腳是一個幫助．某人擬去附近的一家銀行存款，得知該銀行對于數額非特別巨大的存款有如下兩種存款方案（單次存款金額不得少于100元）
方案一定期存款策略：固定存款年，年利率為，存滿一年后本金與利息作為下一年的本金繼續實行存款策略．若中途取出存款則會扣除全部利息并收取元依本金數額而定的手續費（從存款中扣除），具體扣費措施見附表．若一年內存在兩次取出存款，則該人在這一年內將被計入不誠信檔案．當該人被計入不誠信檔案后，收取的手續費將增加至四倍．
方案二活期存款策略：年利率為，可以隨時存取款并且不扣除利息以及手續費．
手續費附表
存款金額的范圍元 | ||||
手續費元 | 45 | 50 |
補充內容①年利率是指，理論上存款一年后獲得的利息（即銀行通過利用存款人的存款資金進行理財而獲得盈利后對存款人的賬戶相應地存入一定數額的報酬）與一年前的本金的比值．若存款不滿一年，獲得的利息將按照存款時間與一年的比值乘以利率及本金來計算．
②注：表示大于等于的最小整數．如
則以下說法中正確的序號組合是
①若該人一年內選用定期存款存取同一筆錢共計扣除手續費95元，則他初始存入的金額小于2020元
②若該人一年內選用定期存款存取同一筆錢共計扣除手續費95元，則他初始存入的金額可能為5000元
③若該人要在一年后獲得的利息最大，應選擇方案一
④若該人要在一年后獲得的利息最大，應選擇方案二
A．①③ B．②④ C．③ D．④
【答案】D
【解析】設該人初始存入的金額為元，
當時，手續費，
當時，手續費，
當時，手續費，
命題①②錯誤；
由于定期存的年利率比活期存款的年利率大，
若該人要在一年后獲得的利息最大，
應該選擇方案二，
命題③錯誤，命題④正確．
故選．
26．（2020?衡陽模擬）2020年3月，國內新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開始走出家門享受春光．某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優惠方案如表：
購票人數 | 100以上 | ||
門票叫個 | 13元人 | 11元人 | 9元人 |
兩個旅游團隊計劃游覽該景點，若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成一個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數之差為
A．20 B．30 C．35 D．40
【答案】B
【解析】設兩個旅游團隊的人數分別為，，
不能被13整除，兩個旅游人數之和：，
若，則11 得：，①
由共需支付門票費為1290元可知，，②
聯立①②解得：，，不符合題意；
若，則9 ，得，③
由共需支付門票費為1290元可知，，，
得，④
聯立③④解得：人，人．
這兩個旅游團隊的人數之差為人．
故選．
27．（2020?邵陽模擬）上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖，充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯系．圖2為骨笛測量春（秋分”，“夏（冬至”的示意圖．圖3是某骨笛的部分測量數據（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角．
由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續減小，其正切值及對應的年代如表：
黃赤交角 | |||||
正切值 | 0.439 | 0.444 | 0.450 | 0.455 | 0.461 |
年代 | 公元元年 | 公元前2000年 | 公元前4000年 | 公元前6000年 | 公元前8000年 |
根據以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是
A．公元前2000年到公元元年
B．公元前4000年到公元前2000年
C．公元前6000年到公元前4000年
D．早于公元前6000年
【答案】D
【解析】由題意，可設冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，
則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，
將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：
則，，
．
，
估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．
故選．
28．（2020?淮北二模）1943年，我國病毒學家黃禎祥在美國發表了對病毒學研究有重大影響的論文“西方馬腦炎病毒在組織培養上滴定和中和作用的進一步研究”，這一研究成果，使病毒在試管內繁殖成為現實，從此擺脫了人工繁殖病毒靠動物、雞胚培養的原始落后的方法．若試管內某種病毒細胞的總數和天數的函數關系為：，且該種病毒細胞的個數超過時會發生變異，則該種病毒細胞實驗最多進行的天數為 天
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】C
【解析】，
，
兩邊同時取常用對數得：，
，
，
，
該種病毒細胞實驗最多進行的天數為27天，
故選．
29．（2020?九龍坡區模擬）我國古代數學專著《四元玉鑒》卷中“如像招數一五間”，有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，’問筑堤幾日？“”其大意為：“官府陸續派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始，每天派出的人數比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天發大米3升，共發出大米40392升，問修筑堤壩多少天？“在這個問題中，修筑堤壩的天數為
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【解析】設第天派出的人數為，則是以64為首項、7為公差的等差數列，
則第天修筑堤壩的人數為，
所以前天共分發的大米數為：
，
即有，
將，15，16，17，分別代入上式，只有成立，
故修筑堤壩的天數為16．
故選．
30．（2020?德陽模擬）某車間每天能生產噸甲產品，噸乙產品，由于條件限制，每天兩種產品的總產量不小于1噸不大于3噸且兩種產品的產量差不超過1噸．若生產甲產品1噸獲利2萬元，乙產品1噸獲利1萬元，那么該車間每天的最高利潤為__________萬元．
【答案】5
【解析】由題意可知，
設該車間每天的利潤為，則，
畫出可行域，如圖所示：
，
由圖可知，當目標函數過點時，取得最大值，
聯立方程，解得，即，
所以的最大值為，
故答案為：5．
