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2021版新高考地區高考數學(人教版)大一輪復習(課件+學案+高效演練分層突破)第09章 第5講 第1課時 橢圓及其性質
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2021版新高考地區高考數學(人教版)大一輪復習(課件+學案+高效演練分層突破)第09章 第5講 第1課時 橢圓及其性質

展開

5講 橢 圓

一、知識梳理

1橢圓的定義

條件

結論1

結論2

平面內的動點M與平面內的兩個定點F1F2

M點的軌跡為橢圓

F1F2為橢圓的焦點

|F1F2|為橢圓的焦距

|MF1||MF2|2a

2a|F1F2|

[注意] 若2a|F1F2|則動點的軌跡是線段F1F2;若2a|F1F2|則動點的軌跡不存在.

2橢圓的標準方程和幾何性質

標準方程

1(ab0)

1(ab0)

圖形

性質

范圍

axa

byb

bxb

aya

對稱性

對稱軸:x軸、y

對稱中心:(00)

頂點

A1(a0)A2(a0)

B1(0b)B2(0b)

A1(0a)A2(0a)

B1(b0)B2(b0)

長軸A1A2的長為2a

短軸B1B2的長為2b

焦距

|F1F2|2c

離心率

ee(01)

abc的關系

c2a2b2

3.點與橢圓的位置關系

已知點P(x0y0)橢圓1(ab0)

(1)P(x0y0)在橢圓內?1

(2)P(x0y0)在橢圓上?1

(3)P(x0y0)在橢圓外?1.

常用結論

橢圓的常用性質

(1)橢圓上的點到焦點距離的最大值為ac最小值為ac.

(2)過橢圓的焦點且垂直于長軸的弦長為.

(3)已知過焦點F1的弦ABABF2的周長為4a.

(4)PAB是橢圓上不同的三點其中AB關于原點對稱直線PAPB斜率存在且不為0則直線PAPB的斜率之積為定值-.

(5)焦點三角形:橢圓上的點P(x0y0)與兩焦點構成的PF1F2叫作焦點三角形.r1|PF1|r2|PF2|F1PF2θPF1F2的面積為S則在橢圓1(ab0)中:

r1r2即點P的位置為短軸端點時θ最大;

Sb2tan c|y0||y0|b即點P的位置為短軸端點時S取最大值最大值為bc.

二、教材衍化

1橢圓16x225y2400的長軸的長________離心率________

答案:10 

2已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(10)離心率等于C的方程是________

答案:1

3橢圓C1的左、右焦點分別為F1F2F2的直線交橢圓CAB兩點F1AB的周長為________AF1F2的周長為________

答案:20 16

一、思考辨析

判斷正誤(正確的打“√”錯誤的打“×”)

(1)平面內與兩個定點F1F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓.(  )

(2)橢圓的離心率e越大橢圓就越圓.(  )

(3)橢圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.(  )

(4)1(ab)表示焦點在y軸上的橢圓.(  )

(5)1(ab0)1(ab0)的焦距相同.(  )

答案:(1)× (2)× (3) (4)× (5)

二、易錯糾偏

(1)忽視橢圓定義中的限制條件;

(2)忽視橢圓標準方程焦點位置的討論.

1平面內一點M到兩定點F1(09)F2(09)的距離之和等于18則點M的軌跡是________

解析:由題意知|MF1||MF2|18|F1F2|18|MF1||MF2||F1F2|所以點M的軌跡是一條線段.

答案:線段F1F2

2已知橢圓的長軸長為10其焦點到中心的距離為4則這個橢圓的標準方程為________

答案:11

1課時 橢圓及其性質

考點一 橢圓的定義及應用(基礎型)

了解圓錐曲線的實際背景從具體情境中抽象出橢圓模型的過程掌握橢圓的定義.

核心素養:數學抽象

(1)(2020·黑龍江哈爾濱六中二模)設橢圓Cy21的左焦點為F直線lykx(k0)與橢圓C交于AB兩點|AF||BF|的值是(  )

A2  B2

C4  D4

(2)(2020·徐州模)已知F1F2是橢圓C1(ab0)的兩個焦點P為橢圓C上的一點PF1PF2PF1F2的面積為9b________

解析】 (1)設橢圓的右焦點為F1連接AF1BF1

因為OAOBOFOF1

所以四邊形AFBF1是平行四邊形.

所以|BF||AF1|

所以|AF||BF||AF||AF1|2a4故選C

(2)|PF1|r1|PF2|r2

所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2

所以SPF1F2r1r2b29所以b3.

答案】 (1)C (2)3

遷移探究】 (變條件)本例(2)中增加條件“△PF1F2的周長為18其他條件不變求該橢圓的方程.

解:由原題得b2a2c292a2c18所以ac1解得a5故橢圓的方程為1.

橢圓定義的應用主要有兩個方面: 一是確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓;二是當P在橢圓上時與橢圓的兩焦點F1F2組成的三角形通常稱為焦點三角形利用定義可求其周長利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|通過整體代入可求其面積等. 

1已知橢圓1上一點P到橢圓一個焦點F1的距離為3P到另一個焦點F2的距離為(  )

A2  B3

C5  D7

解析:D因為a225所以2a10所以由定義知|PF1||PF2|10所以|PF2|10|PF1|7.

2(2020·貴州六盤水模擬)已知點F1F2分別為橢圓C1的左、右焦點若點P在橢圓CF1PF260°SF1PF2________

解析:|PF1||PF2|4|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos 60°|F1F2|23|PF1|·|PF2|12所以|PF1|·|PF2|4SF1PF2|PF1|·|PF2|sinF1PF2×4sin 60°.

答案:

3已知F是橢圓5x29y245的左焦點P是此橢圓上的動點A(11)是一定點.則|PA||PF|的最大值為________最小值為________

解析:如圖所示設橢圓右焦點為F1|PF||PF1|6.

所以|PA||PF||PA||PF1|6.

利用-|AF1||PA||PF1||AF1|(PAF1共線時等號成立)

所以|PA||PF|6|PA||PF|6.

|PA||PF|的最大值為6最小值為6.

答案:6 6

考點二 橢圓的標準方程(基礎型)

掌握橢圓的標準方程.

核心素養: 數學運算

(1)(一題多解)過點()且與橢圓1有相同焦點的橢圓的標準方程為(  )

A1  B1

C1  D1

(2)若直線x2y20經過橢圓的一個焦點和一個頂點則該橢圓的標準方程為________

解析】 (1)法一(定義法):橢圓1的焦點為(04)(04)c4.

由橢圓的定義知2a解得a2.

c2a2b2可得b24.

所以所求橢圓的標準方程1.

法二(待定系數法)

設所求橢圓方程為1(k9)

將點()的坐標代入可得1

解得k5k21(舍去)

所以所求橢圓的標準方程為1.

法三(待定系數法):設所求橢圓方程為1(ab0).由題意得解得

所以所求橢圓的標準方程為1.

(2)直線與坐標軸的交點為(01)(20)由題意知當焦點在x軸上時c2b1所以a25

所求橢圓的標準方程為y21.

當焦點在y軸上時b2c1所以a25

所求橢圓的標準方程為1.

答案】 (1)C (2)y211

(1)用定義法求橢圓的標準方程

先根據橢圓的定義確定a2b2的值再結合焦點位置求出橢圓的方程.其中常用的關系有:

b2a2c2

橢圓上任意一點到橢圓兩焦點的距離之和等于2a

橢圓上一短軸頂點到一焦點的距離等于長半軸長a.

(2)用待定系數法求橢圓的標準方程的步驟

 

[提醒] 當橢圓焦點位置不明確時可設為1(m0n0mn)也可設為Ax2By21(A0B0AB)

1已知動點M到兩個定點A(20)B(20)的距離之和為6則動點M的軌跡方程為(  )

Ay21  B1

Cx21  D1

解析:D由題意有6224故點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓2a6c2a29所以b2a2c25故橢圓的方程為1.故選D

2設橢圓1(m0n0)的右焦點為(20)離心率為則此橢圓的方程為________

解析:橢圓的右焦點為(20)所以m2n24e所以m2代入m2n24n24所以橢圓方程為1.

答案:1

3已知橢圓C的中心在原點一個焦點F(20)且長軸長與短軸長的比是2則橢圓C的方程是________

解析:設橢圓C的方程為1(ab0)

由題意知解得a216b212.

所以橢圓C的方程為1.

答案:1

考點三 橢圓的幾何性質(基礎型)

掌握橢圓的簡單幾何性質.

核心素養: 數學運算

角度一 橢圓的長軸、短軸、焦距

(2020·泉州質檢)已知橢圓1的長軸在x軸上焦距為4m等于(  )

A8  B7

C6  D5

解析】 因為橢圓1的長軸在x軸上

所以解得6m10.

因為焦距為4所以c2m210m4解得m8.

答案】 A

角度二 求橢圓離心率的值(范圍)

(1)(2018·高考全國卷)已知F1F2是橢圓C的兩個焦點PC上的一點.若PF1PF2PF2F160°C的離心率為(  )

A1  B2 

C  D1

(2)在平面直角坐標系xOyP為橢圓C1(ab0)的下頂點MN在橢圓上若四邊形OPMN為平行四邊形α為直線ON的傾斜角α則橢圓C的離心率的取值范圍為(  )

A  B

C  D

解析】 (1)由題設知F1PF290°PF2F160°|F1F2|2c所以|PF2|c|PF1|c.由橢圓的定義得|PF1||PF2|2acc2a所以(1)c2a

故橢圓C的離心率e1.故選D

(2)因為OPMN是平行四邊形

所以MNOPMNOP

yN代入橢圓方程可得xN

所以kONtan α.α所以1

所以aba23(a2c2)解得0故選A

答案】 (1)D (2)A

求橢圓離心率或其取值范圍的方法

(1)求出abac的值代入e21直接求.

(2)先根據條件得到關于abc的齊次等式(不等式)結合b2a2c2轉化為關于ac的齊次等式(不等式)然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時除以aa2轉化為關于ee2的方程(不等式)再解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍) 

角度三 與橢圓性質有關的最值問題

已知P在橢圓y21A(04)|PA|的最大值為(  )

A  B

C5  D2

解析】 P(x0y0)則由題意得x24(1y2)

所以|PA|2x(y04)24(1y)y8y016

=-3y8y020=-3

又-1y01所以當y0=-1|PA|2取得最大值25

|PA|的最大值為5.故選C

答案】 C

求解最值、取值范圍問題的技巧

(1)與橢圓幾何性質有關的問題要結合圖形進行分析即使畫不出圖形思考時也要聯想到一個圖形.

(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式.例如axabyb0e1在求橢圓的相關量的范圍時要注意應用這些不等關系.

(3)最值問題將所求列出表達式構造基本不等式或利用函數單調性求解. 

1已知橢圓1(ab0)的一個焦點是圓x2y26x80的圓心且短軸長為8則橢圓的左頂點為(  )

A(30)  B(40)

C(100)  D(50)

解析:D因為圓的標準方程為(x3)2y21

所以圓心坐標為(30)所以c3.b4

所以a5.因為橢圓的焦點在x軸上所以橢圓的左頂點為(50)

2若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點P為橢圓上的任意一點·的最大值為(  )

A2    B3   

C6    D8

解析:C由橢圓1可得F(10)O(00)P(xy)(2x2)

·x2xy2x2x3

x2x3(x2)222x2

當且僅當x2·取得最大值6.

3已知橢圓1(ab0)F是橢圓的右焦點A為左頂點P在橢圓上PFx|PF||AF|則橢圓的離心率為________

解析:因為點P在橢圓上PFx所以|PF|

又因為|AF|ac|PF||AF|所以4(a2c2)a(ac)4(ac)a3a4c.

答案:

[基礎題組練]

1已知正數m28的等比中項則圓錐曲線x21的焦點坐標為(  )

A0)  B(0±)

C0)0)  D(0±)0)

解析:B因為正數m28的等比中項所以m216m4所以橢圓x21的焦點坐標為(0±)故選B

2(2019·高考北京卷)已知橢圓1(ab0)的離心率為(  )

Aa22b2  B3a24b2

Ca2b  D3a4b

解析:B由題意得所以a2b2c2所以所以4b23a2.故選B

3曲線1與曲線1(k144)(  )

A長軸長相等  B.短軸長相等

C離心率相等  D.焦距相等

解析:D曲線1c2169k(144k)25所以c5所以兩曲線的焦距相等.

4(2020·鄭州模擬)已知橢圓C1(ab0)的左、右焦點分別為F1F2離心率為F2的直線lCAB兩點AF1B的周長為12C的方程為(  )

Ay21      B1

C1  D1

解析:D由橢圓的定義|AF1||AF2|2a|BF1||BF2|2a所以AF1B的周長為|AF1||AF2||BF1||BF2|4a12所以a3.因為橢圓的離心率e所以c2所以b2a2c25所以橢圓C的方程為1故選D

5(2020·昆明市診斷測試)已知F1F2為橢圓C1(ab0)的左、右焦點BC的短軸的一個端點直線BF1C的另一個交點為ABAF2為等腰三角形(  )

A  B

C  D3

解析:A如圖不妨設點By軸的正半軸上根據橢圓的定義|BF1||BF2|2a|AF1||AF2|2a由題意知|AB||AF2|所以|BF1||BF2|a|AF1||AF2|.所以.故選A

6若橢圓C1(ab0)的短軸長等于焦距則橢圓的離心率為________

解析:由題意可得bcb2a2c2c2ac

故橢圓的離心率e.

答案:

7(2020·貴陽模擬)若橢圓1(ab0)的離心率為短軸長為4則橢圓的標準方程為________

解析:由題意可知e2b4b2

所以解得

所以橢圓的標準方程為1.

答案:1

8(2020·浙江臺州月考改編)已知P為橢圓1上一個動點直線l過圓(x1)2y21的圓心與圓相交于AB兩點·的最大值為________最小值為________

解析:(x1)2y21可得圓心O1(10)1得橢圓右焦點的坐標為(10)

因為·()·()()·()||21.因為31||31所以3||2115所以·的最大值為15最小值為3.

答案:15 3

9已知橢圓的長軸長為10兩焦點F1F2的坐標分別為(30)(30)

(1)求橢圓的標準方程;

(2)P為短軸的一個端點,求F1PF2的面積.

解:(1)設橢圓的標準方程為1(ab0)

依題意得因此a5b4

所以橢圓的標準方程為1.

(2)易知|yP|4c3

所以S|yP|×2c×4×612.

10分別求出滿足下列條件的橢圓的標準方程.

(1)與橢圓1有相同的離心率且經過點(2)

(2)已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上P到兩焦點的距離分別為53P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點.

解:(1)由題意設所求橢圓的方程為t1t2(t1t20)因為橢圓過點(2)所以t12t2.

故所求橢圓的標準方程為11.

(2)由于焦點的位置不確定所以設所求的橢圓方程為1(ab0)1(ab0)

由已知條件得

解得a4c2所以b212.

故橢圓的方程為11.

[綜合題組練]

1(綜合型)設橢圓:1(ab0)的右頂點為A右焦點為FB為橢圓在第二象限內的點直線BO交橢圓于點CO為原點若直線BF平分線段AC則橢圓的離心率為(  )

A    B   

C    D

解析:B如圖設點MAC的中點連接OMOMABC的中位線于是OFM∽△AFB解得e.故選B

2(2019·高考全國卷)已知橢圓C的焦點為F1(10)F2(10)F2的直線與C交于AB兩點.若|AF2|2|F2B||AB||BF1|C的方程為(  )

Ay21  B1

C1  D1

解析:B由題意設橢圓的方程為1(ab0)連接F1A|F2B|m|AF2|2m|BF1|3m.由橢圓的定義知4m2am|F2A|a|F1A|則點A為橢圓C的上頂點或下頂點.令OAF2θ(O為坐標原點)sin θ.在等腰三角形ABF1cos 2θ所以12()2a23.c21所以b2a2c22橢圓C的方程為1.故選B

3. (創新型)(2020·江西吉安一模)圖,用與底面成45°角的平面截圓柱得一截口曲線即橢圓則該橢圓的離心率為________

解析:設圓柱的底面圓的直徑為R則橢圓的短軸長為R.因為截面與底面成45°所以橢圓的長軸長為R所以橢圓的半焦距為

e.

答案:

4(2019·高考全國卷)F1F2為橢圓C1的兩個焦點MC上一點且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形M的坐標為____________

解析:通解:由橢圓C1c4不妨設F1F2分別為左、右焦點則由題意知|MF1||F1F2|2c8于是由橢圓的定義得|MF1||MF2|12所以|MF2|12|MF1|4易知MF1F2的底邊MF2上的高h2所以|MF2|·h|F1F2|·yM×4×2×8×yM解得yM代入橢圓方程得xM=-3(舍去)xM3故點M的坐標為(3)

優解:不妨設F1F2分別為左、右焦點則由題意|MF1||F1F2|8由橢圓的焦半徑公式得|MF1|exM6xM68解得xM3代入橢圓方程得yM故點M的坐標為(3)

答案:(3)

5已知橢圓Cx22y24.

(1)求橢圓C的離心率;

(2)O為原點.若點A在直線y2B在橢圓COAOB求線段AB長度的最小值.

解:(1)由題意橢圓C的標準方程為1.

所以a24b22從而c2a2b22.

因此a2c.故橢圓C的離心率e.

(2)設點AB的坐標分別為(t2)(x0y0)其中x00.

因為OAOB所以·0tx02y00

解得t=-.x2y4

所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2

xy4x44(0x4).因為4(0x4)當且僅當x4時等號成立所以|AB|28.故線段AB長度的最小值為2.

6(2019·高考全國卷)已知F1F2是橢圓C1(ab0)的兩個焦點PC上的點O為坐標原點.

(1)POF2為等邊三角形C的離心率;

(2)如果存在點P使得PF1PF2F1PF2的面積等于16b的值和a的取值范圍.

解:(1)連接PF1.POF2為等邊三角形可知在F1PF2F1PF290°|PF2|c|PF1|c于是2a|PF1||PF2|(1)cC的離心率e1.

(2)由題意可知滿足條件的點P(xy)存在當且僅當

|y|·2c16·=-11

c|y|16

x2y2c2

1.

②③a2b2c2y2又由y2b4.

②③x2(c2b2)所以c2b2

從而a2b2c22b232a4.

b4a4存在滿足條件的點P.

所以b4a的取值范圍為[4)

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